13 задание (тригонометрия)

а)
б)

1. Перепишем уравнение:
   
2. Преобразуем правую часть, используя формулы приведения:
   
3. Заметим в левой части разность квадратов и и воспользуемся формулой разности квадратов:
   Вторая скобка, согласно основному тригонометрическому тождеству, дает , а из первой вынесем , чтобы получить формулу косинуса двойного угла:
   
4. Обе части уравнения умножим на и применим формулу косинуса двойного угла :
   
5. Чтобы все тригонометрические функции имели одинаковые аргументы, представим синус одинарного угла в правой части как синус двойного угла , пользуясь формулой синуса двойного угла :
   
6. Перенесём всё в левую часть и вынесем за скобку :
   Полученное уравнение равносильно совокупности:
   
7. Решим уравнение :
   
8. Решим уравнение :
   а)
   Отберём корни, попадающие в отрезок
9. Начертим тригонометрическую окружность, отметив рассматриваемый отрезок и точки, соответствующие корням, полученным под буквой а):
   
   Начинаем обходить отрезок от меньшего конца к большему в сторону возрастания углов (против часовой стрелки): в первую точку попадаем из пройдя в положительном направлении: ; во вторую точку можно попасть из через полкруга: ; в третью точку можем попасть, спустившись на от точки в отрицательном направлении: .
   Осталось пройти этот «нахлёст» от до . Заметим, что точка не попадает в этот нахлёст, потому что её период не (каждый круг), а (каждые два круга), а круг назад мы её уже брали, значит в этот раз не можем. Последнюю точку мы можем взять, потому что у неё период (каждый круг).
   Таким образом,
   б)